Euler's Method | 오일러 방법

Euler's Method, 오일러 방법은 미분방정식의 해를 근사치로 구하는 recursive numerical analysis method 입니다. 

프로그래밍에 익숙한 학생들은 recursive function을 생각하면 정확히 같습니다. 

 

Given dy/dx = f(x, y) 에서, f(x, y) 는 dy/dx 이기 때문에 그 자체로 방정식의 해 y = f(x) 의 기울기 (slope)를 나타냅니다. 

그리고 주어진 initial value가 y(x₀) = y₀ 이라고 했을 때, 다음과 같은 관계가 성립합니다.

 

y_(n + 1) = y_n + h * f(x_n, y_n)

 

예를 들어 x₀ = 2, y₀ = 3 이 주어졌다면,

y₁ = y₀ + h * f(x₀, y₀) = 3 + h * f(2, 3) 이 되겠습니다.

 

 

위 recursive 공식에서 h 빼고 알겠는데, h는 무엇일까요? 

 

h 는 increment of x 값 입니다. 

x_(n+1) = x_n + h

의 관계가 이루어져 있고, 왜 이러한 식이 나왔는지는 다음 그림에서 볼 수 있습니다. 

 

 

푸른색 Solution curve에 대해서 우리는 두개의 initial value x₀, y₀와 (x, y)에서의 solution's slope, f(x, y)도 알고 있습니다. 

그렇다면, 현재 위치 (y_n) + 거리 (h) * 현재 기울기 (f(x_n, y_n)) 를 하면 대략적은 다음 점의 위치를 알 수 있지 않을까요? 

해당 식의 도출 과정은 그리 이해하기 어렵지 않기 때문에 조금만 살펴보면 이해할 수 있습니다. 

 

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Excel Example

 

과연 그렇다면 Euler's Method가 얼마나 효과적인 approximation method인지 알아보도록 하겠습니다.

프로그램을 직접 작성해도 좋지만, 시각적으로 보기 쉽기 위해서 Google Sheet를 활용해보겠습니다.

 

우리가 살펴볼 문제는 다음과 같습니다. 

dy/dx = 0.2xy, y(1) = 3

 

우리는 이 separable equation을 바로 풀 수 있겠죠? 

풀이는 다음과 같습니다. 

 

답은 y = 3e^(0.1(x^2-1)) 이라는 것을 구했습니다. 

그렇다면 이제 google sheets에서 Euler's method를 적용하여 근사치를 구해보겠습니다. 

 

여기서 h의 값을 아직 정하지 않았는데, 총 두가지 0.1 과 0.05 로 나누어서 두번의 시도를 해보겠습니다. 

 

Trial 1 (h = 0.1)
n	x_n	y_n (근사치)	y (실제 값)	abs. err.	rel. err.	h
0	1.0	3.00000	3.00000	0.00000	0.000	0.1
1	1.1	3.06000	3.06367	0.00367	0.120
2	1.2	3.12732	3.13495	0.00763	0.243
3	1.3	3.20238	3.21431	0.01193	0.371
4	1.4	3.28564	3.30228	0.01664	0.504
5	1.5	3.37764	3.39945	0.02181	0.642

 

첫번째 시도입니다. 

h = 0.1 로 값을 잡고 시행을 했는데, 근사치가 실제 값과 상당히 유사하다는 것을 알 수 있죠? 

0.5의 거리를 두고 h = 0.1 인 상태에서 해당 함수의 오차를 확인해보니, 절대오차 0.02, 상대오차 0.64%가 발생했네요.

 

두번째 시도입니다.

절반의 값 h = 0.05 로 시행한 결과, 근사치가 이번에는 기존보다 2배가량 더 유사하게 나온 것 같습니다.

0.5의 거리를 두고 h = 0.05 로 오일러 방법을 시행하자, 해당 함수에서는 상대 오차가 0.3% 밖에 발생하지 않았습니다. 

Trial 2 (h = 0.01)
n	x_n	y_n	y	abs. err.	rel. err.	h
0	1.00	3.00000	3.00000	0.00000	0.000	0.05
1	1.05	3.03000	3.03091	0.00091	0.030
2	1.10	3.06182	3.06367	0.00185	0.060
3	1.15	3.09549	3.09833	0.00283	0.091
4	1.20	3.13109	3.13495	0.00385	0.123
5	1.25	3.16867	3.17359	0.00492	0.155
6	1.30	3.20827	3.21431	0.00603	0.188
7	1.35	3.24998	3.25718	0.00720	0.221
8	1.40	3.29386	3.30228	0.00842	0.255
9	1.45	3.33997	3.34967	0.00970	0.290
10	1.50	3.38840	3.39945	0.01104	0.325

 

 

이렇듯 오일러 방법은 매우 직관적이면서 실용적으로 활용될 수 있는 간단한 미분 방정식 해의 근사치를 구하는 방법입니다. 

오일러 방법보다 여러가지 더욱 실제 해와 매우 근사하게 구할 수 있는 수학적 방법들이 많이 있지만, 여전히 꽤나 훌륭한 근사를 보여줍니다.